Pocos videojuegos pueden contarnos más sobre ciencia que Pokémon. En 3DJuegos ya nos ha dado pie a comentar una teoría física a colación de las Poké Ball, mientras también ha sido posible estimar costes económicos de su mundo de ciencia ficción. Aunque hay una rama de la ciencia sin la que es evidente que Pokémon no sería absolutamente nada: las matemáticas.
Si eres de esas personas a las que les gustaba Pokémon y que en clase de matemáticas no eran capaces de entender nada, y más aún, que directamente no comprendía cómo podría haber gente a la que les pudiese gustar, te vas a llevar una gran sorpresa.
Hoy no hablaré de las fórmulas que hay detrás de cosas como la subida de nivel, o el índice de éxito de las Poké Ball (de hecho, esto ya lo hice hace un tiempo). Hoy toca hablar de una pequeña historia que tiene como protagonista al genial matemático suizo Leonard Euler y los siete puentes que conectaban la ciudad de Königsberg, ahora conocida como Kaliningrado.
La ciudad está partida a la mitad por el río Pregolia, dejando a mitad de su cauce una isla llamada Kneiphof, así como varias divisiones entre el terreno edificado. Para permitir el paso de los ciudadanos, se construyeron un total de siete puentes; cinco conectaban Kneiphof con los terrenos circundantes, y dos más entre zonas cercanas.
Siete puentes y un destino
Representación en grafo (izq) vs Mapa de Königsberg (der)
Resulta que Königsberg fue una ciudad repleta de matemáticos y pensadores, lo que impulsó un pequeño problema como juego entre ellos: ¿Sería posible dar un paseo empezando por una de las cuatro regiones, cruzar todos los puentes una única vez y volviendo al punto de partida? Pues en 1736, a los 29 años de edad, Euler respondió en su Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis.
Aunque se puede resolver de forma bruta, probando todas las soluciones posibles, Euler realizó un dibujo simplificado que representaba el mapa de la ciudad. En él, trazó como líneas los caminos, y dibujó como puntos cada una de las cuatro zonas. Formuló que cada zona necesitaba un número par de caminos posibles para poder volver, haciendo irresoluble el problema de los siete puentes de Konigsberg al producirse la situación contraria.
Los grafos y Pokémon
Pues si cambiamos el nombre de las zonas por vértices, y de las líneas por aristas, llegamos a la noción de grafo. Esta forma de tratar los datos, la teoría de grafos, es muy usada en cosas tan punteras como ciencias de la computación. Hay muchos conceptos dentro de la teoría, pero en honor a Euler, se llama Ciclo Euleriano a los caminos dentro de un grafo que permiten recorrer todas las aristas de una sola vez y regresar al vértice original.
¿Y qué tiene que ver esto con Pokémon? Pues la teoría de grafos seguramente represente a la perfección uno de los sistemas más básicos y necesarios de entender a la hora de combatir: las resistencias y debilidades elementales. Ya sabéis, lo de que Agua le gane a Fuego y que Fuego haga lo propio con Planta. Hay muchos matices, y con los años tenemos cada vez más casos especiales con los dobles tipos o los efectos de las habilidades.
Pero, usando un grafo dirigido (es decir, el que usa flechas como aristas y no meras líneas), podemos representar la superioridad de un ataque con respecto a un tipo determinado de Pokémon. En un genial post creado hace algo más de tres años por parte del matemático Enrique Ferres en el que desgrana las múltiples conexiones con la matemática de los monstruos de bolsillo, presenta el siguiente grafo dirigido:
Grafo dirigido que explica las fortalezas pokémon - Enrique Ferres.
De este dibujo se puede sacar un par de conceptos muy interesantes, y lo que es mejor, muy útiles dentro de los videojuegos de Pokémon. Estoy hablando de los grados de entrada y de salida, que representan la cantidad de flechas que entran y las que salen de él. Es muy simple pensar que un tipo es mejor cuantos más grados de salida tenga, y cuando menos de entrada muestre.
De esta forma, tenemos casos como el tipo Planta, cuyo grado de salida es 3 (hacia Agua, Roca y Tierra), y de entrada es 5 (Fuego, Hielo, Volador, Bicho y Veneno). Un caso contrario sería el tipo Fuego, con un grado de entrada 3 y de salida igual a 4. Cualquier jugador sabe que hay variables adicionales y que ser potente contra un tipo con más Pokémon adheridos a él es más poderoso; como es el caso de Planta siendo superior al popular Agua.
Aunque quizás lo más curioso es que la teoría de grafos, además de servirte en todos los Gimnasios Pokémon al ser clave la superioridad o debilidad de tus tipos, la realidad es que hay uno en concreto en el que también te puede ayudar de una forma adicional. Y además es uno muy recordado de una edición tremendamente querida, como es el Gimnasio Arrecipolis de Rubí, Zafiro y Esmeralda, regentado por Plubio.
Ahora sabes qué era en realidad el puzle del hielo
Fotograma del Gimnasio Arrecipolis en Pokémon Rubí y Zafiro.
Casi todos los Gimnasios Pokémon cuentan con un pequeño puzle antes de enfrentarte a su líder. En el caso de Arrecipolis, era necesario andar por unas zonas de hielo, pisando cada baldosa en una única ocasión y terminando en las escaleras que llevan a la siguiente zona. Es un puzle simple en su primera parte, pero que puede acabar por complicarse al final.
Todos, incluso yo mismo, resolvimos esto por puro ensayo y error, usando nuestra intuición para completar el camino de hielo. Pero, ahora seguramente estaréis viendo las similitudes entre este tipo de problema presentado en la tercera generación de Pokémon y los siete puentes de Königsberg. Aunque, a decir verdad, en esta ocasión toca hablar de otro tipo de ciclos, los hamiltonianos.
Inspirado por los puentes, el matemático irlandés sir William Rowan Hamilton, propuso otro juego unas décadas después: en esta ocasión el reto era visitar 20 ciudades del mundo, representadas en el grafo inferior. Sí, aquí ya sabéis leer el grafo, que no deja de ser un dodecaedro regular donde los vértices son las ciudades y las aristas son los caminos posibles. ¿Qué sucede ahora? Pues que a diferencia del problema de Königsberg, ahora no es necesario pasar por cada "puente", ni volver al mismo lugar; sólo se pide ir a cada sitio sin repetir ciudad.
Ciclo Hamiltoniano original. Christoph Sommer
En un puzle sencillo como el que nos presenta Pokémon, es relativamente simple dar con la solución con métodos "por la fuerza". Sin embargo, cuando tenemos muchos puntos posibles y damos con grafos muy complejos, estamos hablando de un tipo de problemas denominados NP-completos. Aquí ya entramos en matemáticas algo más difíciles, por lo que dejémoslo en que son muy, pero que muy, complejos.
Por cierto, este tipo de "puzles" son bastante antiguos, porque aunque no existía la concepción de grafo, se sabe que en el siglo IX el poeta indio Rudrata habla del "camino del caballo", que no deja de ser pisar todas las casillas de un tablero de ajedrez con un Caballo y su clásico movimiento en "L".
Sea como sea, después de leer este texto seguramente te haya convencido de que hay muchas más matemáticas dentro de Pokémon de las que pensabas, y posiblemente te haya sorprendido que no haya hecho falta ni una fórmula para demostrarlo.
Foto de portada de Pokémon, capítulo en el que Ash lucha por la medalla de Arrecipolis
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